aikadiskretoituminen

Aikadiskretoituminen tarkoittaa prosessia, jossa jatkuvasta ajasta riippuva malli tai järjestelmän käyttäytyminen muunnetaan diskreetti-aikaiseksi muodoksi. Tämä on keskeistä digitaalisten simulointi- ja ohjausjärjestelmien kannalta, joissa tietokoneet tai digitaaliset ohjaimet käsittelevät aikaan ja tiloihin liittyviä arvoja näytteittäin tietyn aikavälin (askeleen) puitteissa.

Järjestelmien aikadiskretoituminen ilmenee yleisesti jatkuvasta ajasta muodostettujen differentiaali- tai yhtälöiden muuntamisessa erotuslaitteiksi. Esimerkiksi jatkuva dynamiikka dx/dt = f(x, t) voidaan diskretoida käyttämällä tilan arvojen x_k näytteitä ja aikavälin h mukaista päivityslausetta x_{k+1} = x_k + h f(x_k, t_k) tai muunnoksia, joissa ratkaistaan x_{k+1} osana f:n riippuvuuksia (implicit Euler, Runge–Kutta-menetelmät ja muut). Järjestelmien aikadiskretoitumisessa erityisen tärkeää on valita sopiva menetelmä ja aikaväli, jotta tuloksena oleva diskreettinen malli säilyttää mahdollisimman hyvin alkuperäisen järjestelmän dynaamisen käyttäytymisen ja vakauden.

Yleisimmät menetelmät kattavat sekä differentiaaliyhtälöiden suoran diskretisoinnin että LTI-järjestelmien muunnokset. Eteenpäin ja taaksepäin Euler -menetelmät sekä Runge–Kutta-sarjat ovat yleisiä numeerisia lähestymistapoja. Toisaalta signaal- ja ohjausjärjestelmissä käytetään bilineaarista muunnosta (Tustin) sekä ZOH-tyyppisiä lähestymistapoja, joissa jatkuvasta järjestelmästä saadaan vastaava aikadiskretoitu järjestelmä.

Aikadiskretoitumisen haasteita ovat vakauden säilyttäminen, strøminaluokan ja taajuusominaisuuksien muutos sekä aliasointi. Oikea aikaväli ja valittu diskretointimenetelmä riippuvat sovelluksesta, halutusta tarkkuudesta ja käytettävissä olevasta laskentatehosta.

Sovelluksia ovat digitaalinen ohjaus, simulointi ja analyysi jatkuvasta systeemistä sekä signaalinkäsittelyssä että teknisissä järjestelmissä, kuten mekatroniikassa ja sähköisessä energiaverkossa. Esimerkkinä kontinuaalista järjestelmää koskeva Euler-diskretointi tuottaa tilan päivityslauseen x_{k+1} = (I + hA) x_k + h B u_k.