Ztransformace

Ztransformace, často označovaná Z-transformace, je matematická transformace používaná při analýze a návrhu diskrétních signálů a systémů. Umožňuje převod sekvence x[n] z pevné časové domény do komplexní Z-domeny.

Definice a ROC: Bilaterální Z-transformace je X(z) = sum_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}, kde z je komplexní proměnná. Existuje v oblasti konvergence (region of convergence, ROC), která je podmíněna růstem x[n]. Pro jednostrannou (unilateral) Z-transformaci X(z) = sum_{n=0}^{∞} x[n] z^{-n}, ROC bývá většinou mimo určitý kruh a souvisí s chováním x[n] pro n ≥ 0.

Vztah k LTI systémům: Pro lineární stacionární diskrétní systém platí Y(z) = H(z) X(z), kde H(z) je Z-transformace impulsové odezvy h[n]. Z-transformace tedy umožňuje analýzu frekvenčních a časových charakteristik systému. Časté operace, jako posunutí v čase, mají v Z-doméně jednoduché formy: Z{x[n - k]} = z^{-k} X(z).

Vlastnosti: Z-transformace je lineární, a lze ji využít k zobrazení časových posunů, škálování a konjugovaných/komplexně-součetných operací. Inverse Z-transformace se provádí pomocí tabulek, rozkladu na části, nebo konturové integrace (rezidua).

Příklady: x[n] = δ[n] má Z-transformaci X(z) = 1. x[n] = a^{n} u[n] má X(z) = z/(z - a) s ROC |z| > |a|. U(n) (jednotkový krok) má X(z) = z/(z - 1) s ROC |z| > 1.

Aplikace zahrnují návrh a analýzu digitálních filtrů, zpracování signálů, digitální komunikace a řízení. Z-transformace je úzce propojena s Laplaceovou transformací jako diskrétní obdoba v čase.