Ztransformaatiossa

Z-transformaatio on menetelmä diskreetin signaalin ja digitaalisten järjestelmien analysointiin. Se muuntaa ajassa esiintyvän sekvenssin x[n] kompleksifunktioksi X(z), jota käsitellään z-alueella. Bilateraalinen muoto on X(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}, ja yksipuolinen muoto X(z) = ∑_{n=0}^{∞} x[n] z^{-n} käytetään usein, kun signaali alkaa n = 0. ROC eli region of convergence on kaikkien z-arvojen joukko, joille sarja suppenee; se ei voi sisältää z-poleja ja riippuu signaalin kasvusta.

Z-transformin keskeiset ominaisuudet ovat lineaarisuus, aikaviive: x[n−k] ↔ z^{-k} X(z), sekä konvoluutio: Z{x1[n] * x2[n]} = X1(z) X2(z). Monilta signaaleilta voidaan Z-transformin avulla ratkaista taustalla olevia rekursiivisia erotuslaskenta- tai järjestelmäyhtälöitä. X(z) voidaan esittää rationaalisena N(z)/D(z), ja napojen paikka D(z) = 0 sekä ROC määrittävät X(z):n käyttäytymisen.

Inversio: X(z) palautetaan ajassa x[n] contor-integraatiolla tai osittaisjakauman (residuaalinen) menetelmillä; oikea ROC valitaan signaalin ja järjestelmän fyysisen käytöksen perusteella.

Sovellukset ja yhteydet: Z-transformaatio on keskeinen työkalu LTI-järjestelmien suunnittelussa ja analyysissä. DTFT on sen erityistapa, jossa z = e^{jω} ja unit-ympyrä vastaa frekvensiarvojen akselia. Järjestelmän vakaus voidaan tulkita ROC:n mukaan: yleisellä ehtokedellä ROC:n on katettava unit-ympyrä, jolloin vaste on BIBO-stabiili. Causalille järjestelmälle ROC on yleensä ulkoreuna napojen ulkopuolella.

---