erotuslaskenta

Erotuslaskenta on matematiikan haara, joka tutkii erojen laskemista peräkkäisten arvojen välillä sekä diskreetissä järjestelmässä tapahtuvaa muutosta. Se on differential calculusin diskreetti vastine ja keskittyy erojen määrittelyyn, ominaisuuksiin sekä niiden yhteyksiin jatkuviin muutoksiin. Erotuslaskenta muodostaa perustan useille numeerisen laskennan menetelmille sekä teoreettiselle tutkimukselle, kuten erotusyhtälöiden ratkaisulle ja interpolaatiokaavoille.

Keskeisiä käsitteitä ovat etumerkinen erotus Δf(n) = f(n+1) - f(n) sekä taaksepäin erotus ∇f(n) = f(n) - f(n-1). Keskiero-ero δf(n) = [f(n+1) - f(n-1)]/2 on yleisesti käytetty. Näillä operaattoreilla voidaan muodostaa korkeampia erotuksia ja käsitellä lineaarisia erotusyhtälöitä sekä polynomien interpolaatiota, esimerkiksi Newtonin etu-erointerpolaatio. Erotuslaskenta yhdistää diskreetin mallinnuksen ja jatkuvan laskennan lähestymistavat, kun askeleen koko h pienenee ja erotukset lähestyvät derivoituja.

Sovellukset ja menetelmät: Finite difference -menetelmiä käytetään laajasti differentiaali- ja aineisto-ongelmien numeerisessa ratkaisussa, aikasarjojen mallinnuksessa sekä signaalinkäsittelyssä. Erotusyhtälöitä sekä niiden vakauden ja luotettavuuden arviointia tutkitaan usein osana numeerista analyysiä.

Historia ja termistö: Erotuslaskenta juontaa juurensa Newtoniin ja Euleriin, ja suomalaisessa matematiikassa termi vakiintui 1900-luvulla. Sille viitataan myös finite differences -laskentana tai difference calculus -käsitteenä.