kompleksifunktioksi

Kompleksifunktio on funktio, jonka määrittelyjoukko ja maalijoukko ovat osajoukkoja kompleksilukujen joukosta. Toisin sanoen, kompleksifunktion syöte on kompleksiluku ja sen tulos on myös kompleksiluku. Yleisesti kompleksifunktio voidaan esittää muodossa $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$, missä $z = x + iy$ on kompleksiluku, $x$ ja $y$ ovat reaalisia muuttujia, ja $u(x, y)$ sekä $v(x, y)$ ovat reaalisia funktioita kahdesta reaalimuuttujasta. Funktio $u$ tunnetaan funktion $f$ reaaliosana ja funktio $v$ sen imaginaariosana.

Kompleksifunktioiden teoria on laaja ja sillä on tärkeitä sovelluksia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Erityisesti analyyttiset funktiot, jotka ovat kompleksifunktioita ja jotka ovat differentioituvia kompleksisessa mielessä, ovat keskeisessä roolissa. Analyyttisillä funktioilla on monia erikoisominaisuuksia, kuten äärettömän monta kertaa derivoituvuus ja esiintyminen Taylorin sarjoissa. Esimerkkejä perustavanlaatuisista kompleksifunktioista ovat eksponenttifunktio $e^z$, logaritmifunktio $\log(z)$ ja trigonometriset funktiot $\sin(z)$ ja $\cos(z)$, kun ne määritellään kompleksilukujen joukossa. Kompleksifunktioiden tutkimus kattaa myös integraalit, käyräintegraalit, residylauseet ja konformikuvaukset.