Kompleksifunktio

Kompleksifunktio viittaa matematiikassa funktioon, joka on määritelty kompleksilukujen joukkoon. Kompleksilukujen joukko, merkitään usein C:llä, sisältää kaikki muodon *a* + *bi* luvut, missä *a* ja *b* ovat reaalilukuja ja *i* on imaginaariyksikkö, jonka toinen potenssi on −1 (*i²* = −1). Kompleksifunktioiden tutkimus on keskeinen osa kompleksianalyysin alaa, joka yhdistää reaalilukujen funktioiden ja kompleksilukujen ominaisuudet.

Kompleksifunktio *f*: *C* → *C* voidaan esittää kahdella reaalifunktiolla. Jos funktio *f* on muodossa *f*(*z*) = *u*(*x*, *y*) + *i*·*v*(*x*, *y*), niin *u* ja *v* ovat reaalifunktioita, jotka riippuvat muuttujista *x* ja *y*, kun *z* = *x* + *iy*. Tässä *x* ja *y* ovat reaalilukuja, jotka muodostavat kompleksiluvun *z* reaaliosan ja imaginaariosan.

Kompleksifunktioita tutkittaessa keskeisiä käsitteitä ovat differentiaalisuus ja analyyttisyys. Kompleksifunktio *f* sanotaan differentioitavaksi pisteessä *z₀*, jos sen derivaatta *f'*(*z₀*) on määritelty. Jos funktio on differentioituva kaikissa kompleksitasossa olevissa pisteissä, se on analyyttinen. Analyyttiset funktiot noudattavat Cauchy–Riemannin yhtälöitä, jotka antavat ehdot funktioiden *u* ja *v* välille, jotta *f* olisi differentioituva.

Kompleksifunktioilla on monia sovelluksia, kuten fysiikassa, insinööritieteissä ja tietojenkäsittelyssä. Niitä käytetään esimerkiksi signaalinkäsittelyssä, aerodynamiikassa ja kvanttimekaniikassa. Kompleksianalyysi tarjoaa työkaluja, joiden avulla voidaan ratkaista monimutkaisia differentiaaliyhtälöitä ja tutkia funktioiden ominaisuuksia tehokkaasti.