Ztransformaatioihin

Z-transformaatio on matemaattinen työkalu, jota käytetään diskreettiaikaisten signaalien ja systeemien analysointiin. Se on diskreettiaikaisen signaalin $x[n]$ jatkuvatoiminen Fourier-muunnoksen diskreetti vastine. Z-transformaatio muuntaa signaalin aikatasosta siirtotasoon, jolloin monet aikatasossa monimutkaiset operaatiot, kuten konvoluutio, muuttuvat yksinkertaisemmiksi kertolaskuiksi.

Z-transformaation määritelmä on $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$, missä $x[n]$ on diskreettiaikainen signaali ja $z$ on kompleksiluku. $z$ esitetään usein napakoordinaatistossa muodossa $z = r e^{j\omega}$, missä $r$ on amplitudi ja $\omega$ on kulmataajuus.

Z-transformaation avulla voidaan analysoida diskreettejä lineaarisia aikainvariantteja (LTI) systeemejä. Systeemin impulssivastaus $h[n]$ muunnetaan sen siirtofunktioksi $H(z)$, joka on $H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] z^{-n}$. Kun syötesignaali $x[n]$ muunnetaan $X(z)$:ksi, ulostulon $y[n]$ Z-transformaatio $Y(z)$ saadaan yksinkertaisesti kertomalla $Y(z) = X(z)H(z)$.

Yksi Z-transformaation keskeisistä eduista on sen kyky käsitellä kaikkia mahdollisia diskreettejä signaaleja, myös niitä, jotka eivät ole Fourie-muunnoskelpoisia. Sillä on laaja sovellusalue digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, säätötekniikassa ja tietoliikennetekniikassa. Erityisesti stabliisuuden analysointi ja digitaalisten suodattimien suunnittelu perustuvat vahvasti Z-transformaatioon.