Yksikkökvaternionit

Yksikkökvaternionit ovat kvaternioita, joiden normi on 1. Kvaternio on lukumuoto, joka voidaan esittää muodossa a + bi + cj + dk, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja ja i, j, k ovat imaginaariyksiköitä, jotka toteuttavat tietyt kertolaskusäännöt: i² = j² = k² = ijk = -1. Yksikkökvaternionin normi määritellään √(a² + b² + c² + d²), ja sen ollessa 1, pätee a² + b² + c² + d² = 1.

Yksikkökvaternioilla on tärkeä rooli kolmiulotteisen avaruuden rotaatioiden esittämisessä. Jokainen yksikkökvaternio vastaa yksikäsitteisesti tiettyä rotaatiota origon ympäri. Rotaatiota kuvaava kvaternio q = a + bi + cj + dk, missä a on reaaliosa ja bi + cj + dk on vektori-osa, vastaa rotaatiota akselin suuntaan, jonka antaa vektori (b, c, d) ja kulman suuruus on 2 arccos(a). Jos v on pisteen sijaintivektori, jonka kvaterniomatriisi on v' = 0 + vₓi + v<0xE1><0xB5><0xA3>j + v<0xE2><0x82><0x9B>k, niin vastaava piste rotaation jälkeen saadaan laskulla qvq⁻¹, missä q⁻¹ on kvaternionin q konjugaatti (a - bi - cj - dk), koska yksikkökvaternionin konjugaatti on sen käänteisluku.

Yksikkökvaternioiden käyttö rotaatioiden esittämisessä on etevämpi kuin esimerkiksi Eulerin kulmien tai rotaatiomatriisien käyttö, sillä ne välttävät gimbal lock -ongelman ja ovat laskennallisesti tehokkaampia. Niitä käytetään laajasti tietokonegrafiikassa, robotiikassa, navigaatiojärjestelmissä ja muilla aloilla, joissa tarvitaan tarkkaa ja tehokasta kolmiulotteisten rotaatioiden käsittelyä.