WelchVerfahren

Welch-Verfahren, benannt nach Peter D. Welch, ist eine Methode zur Schätzung der Leistungsdichtespektrum (PSD) eines zeitlichen Signals. Ziel ist es, die Varianz der PSD-Schätzung gegenüber dem klassischen Periodogramm zu verringern, ohne die Grundsignaleigenschaften zu stark zu verzerren. Es wird häufig in der Signalverarbeitung, Akustik, Vibrationsanalyse und Biomedizin eingesetzt.

Die Idee besteht darin, den Datensatz in überlappende Segmente zu unterteilen, jedes Segment mit einer Fensterfunktion zu multiplizieren, aus jedem Fenster die Einzelperiodogramme zu berechnen und diese anschließend zu mitteln. Typische Parameter sind Segmentlänge M, Fensterfunktion (z. B. Hanning), Überlappung etwa 50 %, sowie die FFT-Länge NFFT. Für jedes Segment wird das fensterte Signal transformiert, das Quadrat des Betrags der Fourier-Koeffizienten berechnet und diese Werte zu einem PSD-Schätzwert über alle Segmente gemittelt. Das Ergebnis ist eine Schätzung der PSD über die Frequenzen.

Wichtige Eigenschaften: Durch die Segmentierung und Mittelung wird die Varianz der Schätzung reduziert, im Gegenzug steigt die Bias durch Fensterung und die Frequenzauflösung hängt von der Segmentlänge ab. Längere Segmente erhöhen die Frequenzauflösung, während stärkere Überlappung die Varianz weiter senkt. Die Wahl des Fensters beeinflusst Leckage und Verzerrungen.

Anwendungen und Implementierung: Das Welch-Verfahren ist Standard in vielen Softwarepaketen (z. B. SciPy: welch, MATLAB: pwelch). Es konkurriert mit anderen PSD-Schätzverfahren wie dem Bartlett-Verfahren oder dem Blackman–Tukey-Verfahren. Historisch stammt es aus dem Bell-Laboratorium; die Methode wurde 1967 von Welch beschrieben.