Weibullfördelning

Weibullfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som kännetecknas av två positiva parametrar: formparametern k och skalfaktorn λ. Den är uppkallad efter Waloddi Weibull och används inom reliabilitetsteknik och livsdataanalys för att beskriva hur länge något fungerar eller hur starkt ett material är före fel. Den har stöd för x ≥ 0 och är mycket flexibel för att modellera olika riskprofiler.

Sannolikhetstätheten är f(x) = (k/λ) (x/λ)^{k−1} exp(−(x/λ)^k) för x ≥ 0, och den kumulativa fördelningsfunktionen är F(x) = 1 − exp(−(x/λ)^k). Medelvärdet är E[X] = λ Γ(1 + 1/k) och variansen Var(X) = λ^2 [Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)^2].

Hazardfunktionen är h(x) = f(x) / S(x) där S(x) = exp(−(x/λ)^k). Detta ger h(x) = (k/λ) (x/λ)^{k−1}. För k > 1 ökar risken över tid, för k < 1 minskar den, och k = 1 ger exponentialfördelningen med konstant risk över tiden.

Användning: Weibullfördelningen är särskilt vanlig inom reliabilitet och livsdataanalys för att modellera livslängder och tid till fel. Den används också för att beskriva vindhastigheter och materialstyrka, där formparametern styr hur riskprofilen förändras med tiden eller belastningen.

Parameteruppskattning sker oftast med maximum likelihood eller metodens moment. En vanlig grafisk metod är Weibullplot: genom att plotta log(-log(1−F)) mot log x får man en rät linje där lutningen ger k och skalan λ uppskattas. Modeller kan även anpassas till censurerad data och används inom Bayesian analys.