Virhevektoria

Virhevektori on n–mittainen vektori, joka kuvaa havaintoihin vaikuttavia virheitä, häiriöitä tai mittausvaihtelua mallissa. Yleisesti käytettyssä lineaarisessa regressiomallissa y = Xβ + ε on y havainnot, X selittäjien matriisi, β parametrit ja ε virhevektori. Virheiden tarkoituksena on kantaa ne vaikutukset, joita ei ole mallinnettu selittäjien avulla.

Olettamukset virhevektorin suhteen muodostavat keskeisen osan perusmallinnuksesta. Tavallisessa klassisessa lineaarisessa regressiossa oletetaan, että E[ε] = 0, ja Cov(ε) = σ^2 I, eli virheet ovat keskimäärin nollia, niiden varianssi on vakio ja ne ovat keskenään riippumattomia. Usein oletetaan myös, että virheet jakautuvat normaalisti ε ∼ N(0, σ^2 I). Nimensä mukaisesti virhevektori kuvaa todella havaittavien arvojen ja mallin ennusteiden välistä poikkeamaa, kun taas residuaalit e = y − Xβ̂ kuvaavat havaintoihin kohdistuvaa jäännöstä mallin估ointivaiheessa.

Käytännössä virhevektori määrittää estimoinnin luotettavuuden ja tilastollisen päättelyn perusedellytykset. OLS-estimaattien optimaalisuus Gauss–Markovin teoreeman mukaan riippuu näistä oletuksista; virheiden normaalijakauma mahdollistaa lisätestit ja konstruktiot kuten luottamusvälit ja hypoteesitestit. Epävarmuuksia, kuten heteroskedastisuutta tai autokorrelaatiota, voidaan kompensoida robustien standardivirheiden tai muiden menetelmien avulla. Virhevektori on siten keskeinen käsite sekä teoreettisessa mallinnuksessa että käytännön tilastollisessa tulkinnassa.