Verschlusselemente

Verschlusselemente (oder abgeschlossene Elemente) bezeichnet man in der Mathematik als Fixpunkte eines Abschlussoperators. Sei cl eine Abschlussfunktion auf einer poset L, häufig die Potenzmenge P(X) oder eine Menge von Teilmengen. Ein Element a ∈ L ist ein Verschlusselement, wenn cl(a) = a. Die Menge der Verschlusselemente bildet dann eine Abschlussstruktur, oft auch als Menge der abgeschlossenen Elemente bezeichnet.

Abschlussoperatoren haben typischerweise drei Eigenschaften: Sie sind extensiv (a ≤ cl(a)), idempotent (cl(cl(a)) = cl(a)) und monotone (falls a ≤ b gilt, dann gilt auch cl(a) ≤ cl(b)). Aus diesen Eigenschaften folgt, dass die Verschlusselemente unter dem Meet operieren und dass jedes Element a eindeutig durch seinen Abschluss cl(a) in ein Verschlusselement überführt wird; außerdem besitzt jedes a das kleinstmögliche Verschlusselement, das a enthält.

Als Beispiele dient die Topologie: cl(S) ist der Abschluss von S; abgeschlossene Mengen F erfüllen cl(F) = F und sind damit Verschlusselemente. In Formal Concept Analysis oder allgemein bei Closure-Operatoren liefern Verschlusselemente die geschlossenen Mengen bzw. Konzepte. In der Praxis helfen Verschlusselemente, Strukturen zu erkennen und zu analysieren, indem man aus beliebigen Objekten deren kleinsten abgeschlossenen Überdeckungen bildet.