Vektoroperasjoner

Vektoroperasjoner er grunnleggende operasjoner som kan utføres på vektorer i det n-dimensjonale rommet. En vektor er en ordnet n-tallsrekke som representerer retning og størrelse. De vanligste operasjonene er vektoraddisjon og skalar multiplikasjon, som utføres komponentvis: a + b = (a1 + b1, ..., an + bn) og c·a = (c·a1, ..., c·an). Vektoraddisjon er kommutativ og assosiativ; skalar multiplikasjon distribuerer seg over tillegg, slik at c(a + b) = ca + cb. Disse operasjonene danner grunnlaget for mange andre vektoroperasjoner og for arbeidet i vektorrom og lineær algebra.

Indreproduktet (dot produkt) mellom to vektorer a og b i R^n er definert som a·b = a1b1 + ... + an bn. Det er en skalar og gir lengde og vinkelinformasjon: ||a|| = sqrt(a·a) og cosθ = (a·b)/(||a|| ||b||) når begge vektorene ikke er nullvektorer. Projeksjonen av a på b er proj_b(a) = (a·b)/(b·b) b.

Det klassiske kryssproduktet (cross product) er definert i tre dimensjoner. For vektorene a og b gir a×b en vektor som står vinkelrett på begge og følger høyrehåndsregelen. ||a×b|| er arealet av parallelogrammet med sider a og b, og kryssproduktet har dimensjonalitet som en vektor. Kryssproduktet er ikke definert i samme form i høyere dimensjoner.

I bredere forstand er vektoroperasjoner sentrale i et vektorrom eller indreproduktrom. Vektorer transformeres av lineære transformasjoner, ofte representert ved matriser: rotasjoner, skaleringer og projeksjoner. Koordinatrepresentasjon og basisvalg er sentrale for beregninger. Vektoroperasjoner brukes i fysikk, ingeniørfag og datagrafikk for å beskrive krefter, bevegelse, vinkler og geometri.