Vektorifunktio

Vektorifunktio on funktio, jonka arvot ovat vektoreita. Tyypillisesti määrittelyjoukko on osajoukko R:sta ja arvojoukko R^n, jolloin f: I → R^n. Jos f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t)) on vektorifunktio, jokainen komponentti fi on reaaliarvoinen funktio, jonka riippuvuus muuttujasta t on erillinen jokaiselle komponentille.

Esimerkki: r(t) = (cos t, sin t), t ∈ R, kuvaa yksikköympyrää tasossa R^2. Derivaatta lasketaan komponenttikohtaisesti: r'(t) = (−sin t, cos t). Kolmen ulottuvuuden esimerkki: p(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Ominaisuudet: Vektorifunktio voidaan sanoa jatkuvaksi tai differentioituvaksi, jos jokainen komponentti on jatkuva tai differeoituvissa. Derivaatta r'(t) olemassa ollessa on (x'(t), y'(t), z'(t)). Pituus ja nopeus: vektorin suuruus on |r(t)| ja nopeus on |r'(t)|. Parametrisoidun käyrän pituus (akselin pituus) s(a,b) voidaan laskea kaavalla s(a,b) = ∫_a^b |r'(t)| dt.

Sovellukset: Vektorifunktio kuvaa liikettä käyrällä tai ajan funktiona määriteltyä sijaintia. Se on keskeinen käsite fysiikassa, mekaniikassa, robotiikassa ja tietokonegrafiikassa, sekä yleensä kuvataan parametrisoinnin avulla.

Ero valkoisiin käsitteisiin: Vektorifunktio viittaa funktioon yhdestä parametrista, usein ajasta, jonka arvo on vektori. Vektorikenttä sen sijaan antaa vektorin jokaiselle avaruuden pisteelle useammasta muuttujasta riippuen ja kuvaa esim. kentän suunnan ja nopeuden at/tilanteissa.