Vektoranalüüsi

Vektoranalüüs on matemaatika haru, mis tegeleb diferentseerimise ja integreerimisega vektorväljade kaudu, mis on funktsioonid ruumis. See arenes välja multivariabelis kalkuluses ja loob aluse paljudele rakendusvaldkondadele, sealhulgas füüsika, inseneriteadus ja arvutigraafika. Vektoranalüüs uurib vektoreid, mis omistavad igale ruumi punktile suuruse ja suuna. Vektorväljad kirjeldavad neid vektoreid kogu piirkonnas, näiteks tuule kiirust ja suunda kogu piirkonnas või temperatuuri ja selle suunda, kus temperatuur kõige kiiremini muutub.

Vektoranalüüsi keskne mõiste on derivaat, mida selles kontekstis nimetatakse operaatoriteks nagu gradient, divergents ja rootor. Gradient operaator rakendatakse skalaarväljadele, et saada vektorväli, mis näitab suurimat tõusu suunda. Divergents operaator rakendatakse vektoriväljadele ja mõõdab, kui palju väli punktist "välja voolab" või "sisse voolab". Rotor operaator, samuti rakendatud vektoriväljadele, hindab, kui palju väli punktis pöörleb.

Integreerimist vektoranalüüsis kasutatakse erinevate suuruste arvutamiseks mööda kõveraid, pinnaid või ruumala. Jooneintegraalid hõlmavad suuruse integreerimist mööda kõverat, näiteks töö arvutamist jõu mööda liikumise puhul. Pinnaintegraalid hõlmavad suuruse integreerimist üle pinna, näiteks voolu arvutamist läbi pinna. Mahtintegraalid hõlmavad suuruse integreerimist üle kolmemõõtmelise piirkonna.

Vektoranalüüsi olulised teoreemid, nagu Greeni teoreem, Stokesi teoreem ja divergentsiteoreem (Gaussiteoreem), seostavad erinevat tüüpi integraale ja pakuvad võimsaid tööriistu nende arvutamisel ja mõistmisel. Need teoreemid on fundamentalid füüsikaseaduste kirjeldamisel, näiteks elektromagnetismi ja fluidudünaamika valdkonnas.