Variatsiooniprobleemidel

Variatsiooniprobleemid on matemaatikas ja füüsikas esinevate probleemide klass, kus otsitakse funktsiooni, mis minimeerib või maksimeerib teatud integraali. Need integraalid on sageli seotud geomeetriliste või füüsikaliste suurustega, nagu pikkus, pindala, maht või energia. Variatsiooniprobleemide lahendamisel kasutatakse enamasti variatsiooniarvutust, mis on matemaatika haru, mis tegeleb funktsionaalide ekstreemumite leidmisega.

Funktsionaal on funktsioon, mis võtab sisendiks teise funktsiooni ja tagastab skalaarväärtuse. Näiteks otsime funktsiooni y(x), mis minimeerib integraali $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx$. See probleem vastab kahe punkti vahelise lühima sirgjoone leidmisele, mis on tuntud kui geodeetiline. Teine klassikaline näide on Brachistochrone'i probleem, kus otsitakse kõverat, mööda mida pall raskusjõu mõjul kõige kiiremini allapoole liiguks.

Variatsiooniarvutuse peamine tööriist on Euleri-Lagrange'i võrrand. Kui otsitakse funktsiooni y(x), mis minimeerib integraali $\int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) dx$, siis Euleri-Lagrange'i võrrand annab vajaliku tingimuse funktsionaali ekstreemumi saavutamiseks: $\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0$. Selle võrrandi lahendid on potentsiaalsed ekstreemumid.

Variatsiooniprobleemidel on olulisi rakendusi paljudes teadusvaldkondades, sealhulgas mehaanikas (näiteks Hamiltoni printsiipe kirjeldades), optikas (Fermati printsiiip) ja kvantmehaanikas. Need probleemid on ka teoreetilise füüsika alustalaks ja aitavad mõista looduse fundamentaalseid seaduspärasid.