Universaalijoukko

Universaalijoukko on settin teorioissa käytetty käsite, jolla tarkoitetaan joukkoa, joka sisältää kaikki kyseisessä kontekstissa huomioitavat oliot tai joukko-objektit. Sen tarkka merkitys riippuu teoria- tai skeemasta, jossa sitä käytetään.

Käytännössä useimmissa standardsattumissa, kuten ZF- ja ZFC-teorioissa, universaalijoukkoa ei ole joukko. Sen sijaan puhutaan universaalista luokasta, yleensä merkittynä V, joka sisältää kaikki kyseisen teorian joukko-objektit. Tällainen luokka on suurempi kuin mikään joukko eikä sille voi asettaa joukko-ominaisuuksia; V on siis "kokoelma" kaikkien joukkojen yläpuolella, mutta se ei ole joukko.

Russellin paradoksi havainnollistaa, miksi universaali joukko ei voi olla joukko: jos oletetaan, että V on joukko, voidaan muodostaa R = {x ∈ V | x ∉ x}. Riippuen siitä, kuuluuko R joukkoon, johtaisi R ∈ R tai R ∉ R logiikkaan ristiriitaan. Tämä paradoksi osoittaa, että universaali joukko ei voi olla joukko, vaan tulkitaan paremmin universalina luokkana (esimerkiksi ZF- ja NBG-teorioissa).

Eri teoriajärjestelmissä on erilaisia ratkaisuja. Esimerkiksi joissakin kehikoissa, kuten NBG- ja MK-teorioissa, on selvästi määritelty universaali luokka V, joka ei ole joukko. Joissakin vaihtoehtoisissa järjestelmissä, kuten New Foundations (NF), on erilainen lähestymistapa universaaliin joukkoon, mutta ne eivät ole yhtä laajasti käytettyjä kuin standardijärjestelmät. Universaalijoukko on siten pääasiassa teoreettinen käsite, jolla on merkitystä luokkien ja joukkojen välisen suhteen tarkastelussa.