Uniformfördelning

Uniformfördelning är en sannolikhetsfördelning där alla utfall inom ett givet intervall har lika stor sannolikhet. Den finns i två huvudvarianter: en kontinuerlig uniformfördelning på intervallet [a, b] och en diskret uniformfördelning över heltal som bildar en följd {a, a+1, ..., b}.

I den kont͟inuerliga varianten, X ~ U(a, b), är tätheten f_X(x) lika stor som 1/(b-a) för a ≤ x ≤ b och 0 utanför intervallet. CDFn är F_X(x) = (x-a)/(b-a) för a ≤ x ≤ b, med F_X(x)=0 om x < a och F_X(x)=1 om x ≥ b. Förväntat värde är E[X] = (a+b)/2 och varians Var[X] = (b-a)^2 / 12. Om a=b blir fördelningen degenerate.

I den diskreta varianten, X ~ Uniform(a, b) med heltal a ≤ b, är P(X=k) = 1/(b-a+1) för varje heltal k i intervallet. Förväntat värde är E[X] = (a+b)/2 och varians Var[X] = ((b-a+1)^2 − 1)/12. För fallet a=1, b=n motsvarar det en rättvis uppsättning tal 1 till n och variansen är (n^2−1)/12.

Användning: Den kontinuerliga uniformfördelningen används ofta som basdistribution i simuleringar och som utgångspunkt för konstruktion av andra fördelningar via transformationer, till exempel genom att använda U ~ Uniform(0,1) och omvandla till önskad intervall. Den diskreta varianten förekommer vid slumpmässiga heltalsval som exempel på rättvisa utfall. Båda varianterna är grundläggande byggstenar i sannolikhetslära och simuleringar.