Térfogatszorzó

Térfogatszorzó, más néven Jacobi-szorzó, a differenciálható transzformációk helyi térfogat- vagy volumenterjedésének mértéke. Ha F: U ⊆ R^n → R^n differenciálható, y = F(x), akkor a Jacobian-mátrix DF(x) tartalmazza a részsugárzási (∂F_i/∂x_j) elemeket. A helyi térfogatszorzóot az abszolút értékével adva kapjuk meg: dV_y = |det DF(x)| dV_x. Ez azt jelenti, hogy a transzformáció miként skálázza egy nagyon kicsiny, n-dimenziós térfogatot környezetében.

Az integrálásban a változónk közötti átrendezés során a térfogatszorzó a change of variables formula kulcsfontosságú eleme. Az n-dimenziós integráloknál: ∫_Ω f(y) dy = ∫_{F−1(Ω)} f(F(x)) |det DF(x)| dx. Ebben a kifejezésben a terület- vagy térfogatnövekedést a determináns abszolút értéke adja meg.

Példák: Polárkoordináták esetén x = r cosθ, y = r sinθ, a transzformáció Jacobian-determinánsa det DF = r, tehát dx dy = r dr dθ. lineáris transzformációnál A: R^n → R^n det A állandó érték, amely a térfogatot |det A|-szorozza meg. A térfogatszorzó fogalma a szerint általánosítva a koordinátaváltásoknál a különböző dimenziókban is értelmezett, és a geometria vagy a mérés elveit összeköti a transzformációk révén.

A lényeg: a térfogatszorzó megadja, hogyan változik a n-dimenziós volumentermék a térbeli transzformáció hatására, és kulcsfontosságú eszköz az integrálás és a koordinátaváltások elméletében.