TrefoilKnoten

Der Trefoilknoten, in der Knotentheorie auch als Trefoil-Knoten bezeichnet, ist der einfachste nichttriviale Knoten. Es handelt sich um eine geschlossene, nicht selbstschneidende Kurve im dreidimensionalen Raum, deren Minimalknotenprojektion drei Kreuzungen aufweist.

Eigenschaften dieses Knotens umfassen, dass er ein Torusknoten der Typ T(2,3) ist. Demnach existieren zwei Spiegelbilder, ein rechtshändiges und ein linkshändiges Trefoil; sie sind Spiegelbilder zueinander und damit chirale Gegenstücke. Die Kreuzungszahl beträgt drei, und der Knoten ist prim sowie alternierend. Eine gängige graphische Darstellung ergibt sich als Verknotung eines zweidimensionalen Braid mit drei Wiederholungen, wobei die Braid-Gruppe B2 verwendet wird.

Algebraisch besitzt der Trefoilknoten das Alexander-Polynom Δ(t) = t^(-1) − 1 + t. Aus Δ(−1) folgt die Determinante det(K) = |Δ(−1)| = 3. Der Knoten hat Genus 1, das heißt, das minimale Seifert-Flächen mit Rand K hat den Flächenrang 1. Zudem ist der Trefoilknoten ein faseriger Knoten; sein Komplement ist eine Faserung über den Kreis mit einer Faseroberfläche, die ein einmal-genus-Torus mit Rand ist, wobei die Monodromie durch eine Dehn-Twist beschrieben wird.

Historisch gehört der Trefoilknoten zu den frühesten nichttrivialen Beispielen in der Knotentheorie und dient seither als Standardbeispiel in Lehrbüchern und Forschungsarbeiten. In Anwendungen findet er sich häufig in der Darstellung grundlegender Knoteneigenschaften, etwa in der Topologie von DNA-Strukturen und in didaktischen Kontexten der Geometrie von Knoten.