Todennäköisyysdensiteettifunktiota

Todennäköisyysdensiteettifunktio, usein lyhennettynä PDF (Probability Density Function), on keskeinen käsite todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Se kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa. Toisin kuin diskreetissä tapauksessa, jossa käytetään todennäköisyysmassafunktiota, jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyys tietyllä yksittäisellä arvolla on nolla. Sen sijaan todennäköisyysdensiteettifunktio antaa arvon, joka kuvaa todennäköisyyden tiheyttä kyseisen arvon ympärillä.

Funktion arvo itsessään ei ole suoraan todennäköisyys. Todennäköisyys tietylle välin sisälle saadaan integroimalla todennäköisyysdensiteettifunktio kyseisen välin yli. Matemaattisesti, jos X on satunnaismuuttuja ja f(x) sen todennäköisyysdensiteettifunktio, niin todennäköisyys sille, että X saa arvon välillä [a, b], on ∫[a, b] f(x) dx.

Todennäköisyysdensiteettifunktiolla on kaksi tärkeää ominaisuutta. Ensinnäkin, funktion arvon on oltava aina ei-negatiivinen, eli f(x) ≥ 0 kaikilla x. Toiseksi, funktion koko integraali yli koko mahdollisten arvojen joukon on oltava tasan yksi. Tämä kuvaa sitä, että satunnaismuuttujan on pakko saada jokin arvo. Esimerkkejä yleisistä todennäköisyysdensiteettifunktioista ovat normaalijakauma, eksponenttijakauma ja tasajakauma. Näitä funktioita käytetään laajasti mallintamaan erilaisia ilmiöitä luonnontieteissä, insinööritieteissä, taloustieteissä ja monilla muilla aloilla.