Tilayhtälöinä

Tilayhtälöinä, tai state-space-mallina, tarkoitetaan dynaamisten järjestelmien esittämistä matriiseilla muodostettujen first-order -tulosten avulla. Ne tarjoavat yleisen ja joustavan tavan kuvata sekä hallita monimutkaisia protokollia, joissa tilat riippuvat nykyisestä tilasta ja ajon aikana annetuista inputeista.

Kontrolliteoriassa yleisin kontinousaikainen tilayhtälömuoto on x'(t) = A x(t) + B u(t) ja suodatus/ulostulomuoto y(t) = C x(t) + D u(t). Tässä x(t) on tila—järjestelmän muuttujien vektori, u(t) sisäänotto/ohjaus, ja y(t) ulostulo. A, B, C, D ovat mitoitetut neliö- ja oikeanlaiset matriisit, joilla kuvataan järjestelmän dynamiikka sekä sen vasteet inputteihin. Discreet-time-tilayhtälöissä vastaavasti x[k+1] = A x[k] + B u[k] ja y[k] = C x[k] + D u[k]. Tilayhtälöitä voidaan käyttää sekä lineaarisina (LTI) että ei-lineaarisina malleina, ja ne soveltuvat sekä jatkuvaan että diskreettiin simulointiin.

Tilayhtälöiden etuja ovat niiden soveltuvuus korkean tason analyysiin ja suunnitteluun: stabiliteetin arviointi, controllability ja observability -ominaisuudet, sekä helppo yhdistää ohjaus- ja estimointialgoritmeihin kuten state feedbackiin tai Kalman-suodattimeen. Ne mahdollistavat laskennan sekä tilan alkioden että ulostulon vuorovaikutuksesta ilman korkeakirjoja toisen kertaluvun tai kolmannen kertalaisten muuttujien suoraa käsittelyä.

Esimerkki: massamäntäjärjestelmän tilayhtälöt valitaan tilaksi x1 = asento, x2 = nopeus, jolloin x1' = x2, x2' = -(k/m) x1 - (b/m) x2 + (1/m) u, ja y = x1. Tilayhtälöinä ilmaistu kuvaus on tehokas väylä mallintamiseen, analysointiin ja ohjaukseen.