TeilSummenfolge

TeilSummenfolge, im Deutschen oft auch Teilsummenfolge genannt, bezeichnet die Folge der Teilsummen einer unendlichen Reihe. Gegeben sei eine Reihe sum_{n=1}^∞ a_n. Die TeilSummenfolge s_N ist definiert durch s_N = ∑_{n=1}^N a_n; alternativ wird sie auch S_N genannt. Die Reihe besitzt eine Summe genau dann, wenn die TeilSummenfolge konvergiert, das heißt lim_{N→∞} s_N existiert und endlich ist.

Die Konvergenz der Reihe ist äquivalent zur Konvergenz der TeilSummenfolge. Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die TeilSummenfolge genau dann, wenn für jedes ε>0 ein N existiert, so dass für alle m>n≥N gilt |s_m - s_n| < ε. Da s_m - s_n = ∑_{k=n+1}^m a_k folgt daraus eine Verbindung zwischen dem Verhalten der Restsumme und der Konvergenz der Folge.

Eigenschaften: Falls alle a_n ≥ 0 sind, ist s_N eine monotone wachsendende Folge. Ist sie nach oben beschränkt, konvergiert sie. Eine notwendige Bedingung für Konvergenz ist, dass a_n → 0; das Umgekehrte gilt nicht allgemein.

Beispiele: Die Harmonische Reihe ∑_{n=1}^∞ 1/n besitzt s_N = ∑_{k=1}^N 1/k, die gegen unendlich divergiert. Die geometrische Reihe ∑_{n=0}^∞ r^n mit |r|<1 hat s_N = a(1 - r^{N+1})/(1 - r) und konvergiert gegen a/(1 - r). Die alternierende Harmonische Reihe ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n+1}/n konvergiert gegen ln 2; die TeilSummenfolge nähert sich diesem Grenzwert.

Allgemein lässt sich das Konzept auf Reihen in normierten Räumen übertragen, wobei Konvergenz über die Norm definiert wird. Teilsummenfolgen sind grundlegend für die Analyse von Reihen und deren Summen.