TeilSummen

Teilsummen bezeichnet in der Mathematik die Summe der ersten N Glieder einer Folge. Für eine Folge a_n mit n ≥ 1 ist die N-te Teilsumme S_N definiert durch S_N = a_1 + a_2 + ... + a_N = ∑_{n=1}^N a_n. Die Folge der Teilsummen {S_N} beschreibt die kumulierte Summe. Im Zusammenhang mit unendlichen Reihen besitzt die Teilsummenfolge eine zentrale Rolle: Die unendliche Reihe ∑_{n=1}^∞ a_n konvergiert genau dann, wenn der Grenzwert lim_{N→∞} S_N existiert; in diesem Fall ist der Grenzwert die Summe der Reihe. Divergiert die Folge {S_N}, so divergiert auch die Reihe.

Man unterscheidet Teilsummen von unterschiedlichen Startpunkten, z.B. S_{k,N} = ∑_{n=k}^N a_n, und in vielen Anwendungen spricht man von Prefix-Summen.

Beispiele: Für a_n = n gilt S_N = N(N+1)/2. Für a_n = (1/2)^n (mit n ≥ 1) ergibt sich S_N = (1/2)(1 - (1/2)^{N})/(1 - 1/2) = 1 - (1/2)^{N}. Die unendliche Reihe ∑_{n=1}^∞ (1/2)^n hat Summe 1.

Anwendungen: Teilsummen werden in der Analysis verwendet, um Konvergenzverhalten von Reihen zu untersuchen, sowie in der Informatik als Prefix-Summe zur effizienten Berechnung von Bereichssummen in Arrays und bei statistischen Berechnungen.