Tangentialrichtung

Die Tangentialrichtung bezeichnet die Richtung, in der sich eine geometrische Kurve am betrachteten Punkt fortsetzt, also die Richtung der Tangente an dieser Kurve. In der Ebene oder im Raum beschreibt sie den Vektor, der die Geschwindigkeit einer glatten Parametrisierung der Kurve am Punkt angibt. Sei c(t) eine glatte Kurve im R^n; dann liefert c′(t0) die Tangentialrichtung am Punkt c(t0) (vorausgesetzt c′(t0) ≠ 0). Die Tangente ist die Gerade, die durch c(t0) in Richtung c′(t0) verläuft.

Auf einer glatten Fläche S in R^3 gehört die Tangentialrichtung zu ihrem Tangentialraum T_pS am Punkt p ∈ S. Hier beschreibt sie die Richtung eines Tangentialvektors an einer Kurve, die durch p verläuft und in der Fläche liegt. Der Tangentialraum besteht aus allen möglichen Tangentialrichtungen an diesem Punkt und wird durch zwei (linear unabhängige) Tangentialvektoren aufgespannt.

Beispiele verdeutlichen die Idee: Bei einer Kreisbahn mit Mittelpunkt im Ursprung hat der Tangentialvektor am Punkt (R cos θ, R sin θ) die Richtung (-sin θ, cos θ); er steht senkrecht zum Radiusvektor. In der Physik unterscheiden sich Tangentialrichtung und Normalrichtung: Die Tangentialrichtung verläuft entlang der Bewegungsrichtung innerhalb einer Oberfläche oder Bahn, während die Normalrichtung senkrecht zur Oberfläche bzw. zur Bahn steht.

Anwendungsgemäß wird der Begriff in der Differentialgeometrie wie auch in der Mechanik verwendet. In der Geometrie bezeichnet man als Tangentialrichtung häufig die Richtung des Tangentenvektors einer Kurve, während der Tangentialraum einer Fläche alle solchen Richtungen am jeweiligen Punkt umfasst.