Systemmatrise

Systemmatrise, også kalt koeffisientmatrise, er den matrisen som inneholder koeffisientene i et system av lineære ligninger. For et system med m ligninger og n ukjente kan systemmatrisen A være en m × n-matrise slik at Ax = b, der x er kolonnevektoren av ukjente og b er høyresiden av ligningene. Når b er oppgitt som en vektor, beskriver systemmatrisen hvordan ukjente påvirker hver ligning gjennom lineære kombinasjoner.

Augmented matrise brukes ofte i løsningen av slike systemer. Den dannes ved å sette inn høyresiden b som en ekstra kolonne til systemmatrisen, og skrives som [A | b]. Gjennom radreduksjon eller Gauss-eliminasjon kan man undersøke løsningene og finne en løsning dersom den eksisterer. For et kvadratisk system (m = n) gir determinanten til A viktig informasjon: hvis det er ikke-null, har systemet en unik løsning x = A^{-1} b; hvis determinanten er null, er løsningen enten fraværende eller ubegrenset.

Rang er en sentral begrep: rank(A) og rang([A | b]) brukes til å avgjøre konsistens og antall løsninger. Hvis systemet er konsistent og A har full rang, finnes det en unik løsning; hvis A er rangent og det finnes løsninger, har man uendelig mange løsninger beskrevet av løsningen til det homologe systemet Ax = 0.

Metoder for å løse systemmatriser inkluderer Gauss-eliminasjon, LU-faktorisering, og, for store eller spesialiserte systemer, iterative metoder som Jacobi, Gauss-Seidel eller konjugat-gradient. Systemmatriser anvendes bredt i ingeniørfag, fysikk, økonomi og datagrafikk.