Stramhetsfunksjoner

Stramhetsfunksjoner, i norsk matematikk, refererer vanligvis til konseptet tightness function i sannsynlighetsteori. En stramhetsfunksjon er en nedre semicontinuerlig funksjon S: X → [0, ∞] definert på et polsk rom X (eller mer generelt et metrisk rom) slik at subnivåsettene {x i X : S(x) ≤ a} er kompakte for hver aritmetisk a. Disse funksjonene brukes som verktøy for å verifisere at en familie av sannsynlighetsmål er tight, det vil si at massen ikke vandrer mot uendelig.

En familie {μ_i} av måler på X er tight hvis for hver ε > 0 finnes et kompakt K ⊂ X slik at μ_i(K) ≥ 1 − ε for alle i. Hvis S er en stramhetsfunksjon med koercivitet (S(x) → ∞ når ||x|| → ∞ i et passende rom), følger det at subnivåsettene er kompakte, og tightness kan vises ved å velge a slik at sup_i μ_i({x : S(x) > a}) < ε.

Eksempler: På R^d med standard topologi er S(x) = ||x||^2 en stramhetsfunksjon, siden L_a = {x : ||x||^2 ≤ a} er kompakt. I funksjonsrom som C([0,1], R^d) kan man konstruere S som en kombinasjon av sup-normen og kontroll av modulus, for å få en koerciv nedre semicontinuerende funksjon.

Anvendelser: Stramhetsfunksjoner brukes ofte sammen med Prokhorov-teoremet for å få konvergens av sannsynlighetsmål; de er også sentrale i vurdering av eksponentell tightness i store avvik-teori. Noen forfattere omtaler dem som koercive eller Lyapunov-lignende funksjoner.