Spektralkategorien

Spektralkategorien sind Kategorien, die über Spektren angereichert sind. Das bedeutet: Für jedes Paar von Objekten A und B existiert ein Hom-Spektrum Hom(A,B), und es gibt eine Kompositionsstruktur sowie Einheitspfeile, die als Abbildungen von Spektren zusammensetzen und die Assoziativität und Einheit erfüllen. Üblicherweise verwendet man als Grundkonstruktion symmetrische Spektren oder orthogonale Spektren.

Eine Spektralkategorie mit genau einem Objekt entspricht einem Ring-Spektrum, also einem Spektrum mit multiplikativer Struktur. Allgemein liefern die Endomorphismspektren eines Objekts wichtige algebraische Informationen in der stabilen Homotopietheorie. Die Homotopieklasse der Hom-Spektren bildet oft eine triangulierte Kategorie, die als homotopische Signatur der Spektralkategorie dient.

Spektralkategorien stehen im topologischen bzw. homotopischen Analogon zu DG-Kategorien (Kategorien, die über Kettenkomplexe angereichert sind). Sie modellieren stabile Phänomene in der Algebra und Geometrie und ermöglichen das Arbeiten mit Modulen über Spektralkategorien, Funktoren und Homotopie-Theorien in einem enrichierten Rahmen. Durch Enrichment erhält man besser kontrollierte Invarianten wie topologische K-Theorie oder THH/TC, die für Spektralkategorien definiert werden können.

Varianten und Modelle: Je nach Wahl des Spektralmodells (symmetrische Spektren, orthogonale Spektren, Eilenberg–MacLane-Spektren) lassen sich verschiedene Modellstrukturen auf der Kategorie der kleinen Spektralkategorien herstellen. Diese Modelle sind in der Regel miteinander deriviert äquivalent und führen zu bennutzerdefinierten, aber konsistenten Homotopie-Kategorien.