Skärningssekvens

Skärningssekvens är inom geometri och diskret matematik termen för ordningen i vilken en rak linje i ett tvådimensionellt plan korsar rutnätets vertikala respektive horisontella linjer. Betraktar man ett standardrutnät av enhetskvadrater korsar linjen successivt en vertikal linje x = n eller en horisontell linje y = m. Genom att märka varje korsning med V för vertikalt och H för horisontalt får man skärningssekvensen för linjen.

Om lutningen α är rational är sekvensen periodisk; om α är irrational är den aperiodisk och kan kopplas till Sturmian-sekvenser, vilka studeras inom kombinatorik på ord och symbolisk dynamik. Den irrationella fallet kännetecknas av en tydlig struktur: sekvensen kodar geometrin av hur linjen växer genom rutnätet och uppvisar ofta balans- och minimal- komplexitets-egenskaper som gör den intressant i teorin om ord.

Relationer och egenskaper: skärningssekvensen är starkt kopplad till lutningens continuerade bråks-expansion. De partiella kvoterna avgör hur länge man får en serie av lika bokstäver (längden på block av V eller H) innan bytet till den andra bokstaven sker. Den fortsatta bråks-expansionen därmed avgör den korresponderande ordningen i sekvensen och dess combinatoriska egenskaper. I det irrationella fallet ger sekvensen oftast en Sturmian-ord, som har exakt n+1 olika faktorer av längd n och uppvisar utmärkta balans-egenskaper.

Användningar och sammanhang: skärningssekvenser används inom symbolisk dynamik, studier av kvadratsystem och billiard i en kvadrat, samt i teoretiska konstruktioner där geometriska vägar kodas som tvåbokstavsord. De ger en stark koppling mellan geometri, number theory och ord-teori.