Skalaparametrisering

Skalaparametrisering er et begreb inden for statistik og sandsynlighedsregning, der beskriver en model ved hjælp af en skalaparameter frem for kun at anvende placering eller form. En skalaparameter s > 0 styrer størrelsen eller spredningen af en fordeling ved at udvide eller komprimere variablen.

En generel måde at formulere en skalafamilie på er gennem densities f(x; s) = (1/s) g(x/s) for x i den rette domæne og s > 0. Her er g en grundform, og s bestemmer, hvor bred eller snæver fordelingen er. Denne tilgang afspejler, at X kan skrives som X = sZ, hvor Z følger den grundformede fordeling g.

Forskellen mellem skala og form er, at skalaen påvirker spredningen, mens formen angiver kurvens generelle form. Skalaen kan ofte ændres uafhængigt af placering (mean) og form, hvilket gør skalaparametrisering særligt nyttig ved enhedsskift, måling af usikkerhed og reskalering af data.

Eksempler:

- Normalfordelingen kan parameteriseres med en skala σ: X = μ + σZ, hvor Z ~ N(0,1).

- Gamma-fordelingen kan beskrives med shape-k og scale-θ, hvor θ fungerer som en skalaparameter.

- Eksponentialfordelingen er et specialtilfælde med skala θ og kan ses som en skala-multiplisering af en standard exponential.

Anvendelser omfatter modellering af spredning, heteroskedasticitet, enhedsskift og invariant sandsynlighedsstrukturer. Fordelene ved skalaparametrisering inkluderer intuitiv fortolkning af spredning og nem reskalering, mens udfordringer kan opstå i forhold til identifikation og numerisk stabilitet i estimationsprocedurer.