Singulaarväärtused

Singulaarväärtused ehk singular value decomposition (SVD) on lineaarse algebra meetod, millega maatriksit saab dekomponeerida kolmeks teiseks maatriksiks. See meetod on laialdaselt kasutatav paljudes rakendustes, sealhulgas andmete analüüsis, piltide töötlemises ja masinõppes.

Matemaatiliselt väljendub SVD järgmiselt: iga reaalse või kompleksse maatriksi A jaoks, mille mõõtmed on m x n, saab selle esitada kujul A = U * Sigma * V^T, kus:

U on m x m ortogonaalne maatriks, mille veerud on vasakpoolsed singulaarvektorid.

Sigma on m x n diagonaalmaatriks, mille diagonaalil olevad elemendid on A singulaarväärtused, järjestatud kahanevas järjekorras. Need väärtused on reaalsed ja mitte-negatiivsed.

V^T on n x n ortogonaalne maatriks (V on ortogonaalne maatriks), mille read on parempoolsed singulaarvektorid.

Singulaarväärtused mõõdavad maatriksi "venitus"- või "kokkutõmbumis"-efekti erinevates suundades. Need on maatriksi A jaoks defineeritud kui ruutjuured maatriksi A^T * A (või A * A^T) omaväärtustest. Need omaväärtused on alati mitte-negatiivsed.

SVD on väga kasulik, sest see paljastab maatriksi struktuuri ja selle omadused. See võimaldab vähendada andmete dimensioone, eemaldades väikesed singulaarväärtused, mis vastavad vähem olulistele komponentidele. Seda kasutatakse näiteks peamiste komponendid analüüsi (PCA) teostamiseks ja müra eemaldamiseks. Samuti on see aluseks paljude algoritmide toimimisele, mis tegelevad maatriksi inversiooni või süsteemide lahendamisega.