Sigmaadditiivisyydeksi

Sigmaadditiivisyydeksi on mittausteoriassa keskeinen käsite, jolla kuvataan mittan ominaisuutta. Siis mitta μ määritelmässä (X, F) on σ-additiivinen, jos μ on [0, ∞]-arvoinen ja täyttää seuraavat ehdot: μ(∅) = 0, ja jokaiselle lukumääräiselle sarjalle A1, A2, … ∈ F, joissa A_i ovat erillisiä (disjoint), pätee μ(∪_{n=1}^∞ A_n) = ∑_{n=1}^∞ μ(A_n). Tämä määritelmä tunnetaan myös nimellä countable additivity.

Sigmaadditiivisyys on vahva lisäys yksittäis- tai finit_additiivisyyteen nähden: se tarkoittaa, että mitta jakautuu oikein kaikkien laskettavien disjunkttien joukkojen yhteenlaskun ja näiden joukkojen unionin välillä. Miten suuri joukko rakenteesta riippuu: σ-algebrassa määritelty mitta, kuten Lebesgue-mitta tai laskettava mitta, on aina σ-additiivinen.

Merkittäviä seuraamuksia ja ominaisuuksia ovat esimerkiksi jatkuvuudet alaspäin ja ylöspäin. Jos A_n ∈ F ja A_n ↓ A sekä μ(A_1) < ∞, niin μ(A) = lim μ(A_n). Jos A_n ↑ A, niin μ(A) = lim μ(A_n). Sigma-additiivisyys on myös oleellinen osa todennäköisyysnäkökulmaa: todennäköisyysmitta on σ-additiivinen, ja se mahdollistaa esimerkiksi todentamisen, että erillisten, tapahtumien samanaikaiset kasautumat sekä rajat ovat oikein.

Käytännössä σ-additiivisyyttä käytetään laajasti mittateoriassa ja todennäköisyydessä sekä rakennettaessa mittauksia kuten Lebesgue-mitta, laskettava mitta ja Dirac-mitta, sekä Carathéodoryn laajennusteoriassa.

---