Representatsioonid

Representatsioonid tähistavad viise, kuidas abstraktne struktuur saab realiseerida konkreetse lineaarse toimimise kaudu vektorruumis. Üldiselt on representatsioon homomorfia G → GL(V), kus G on uuritav struktuur (nt grupp, algebra või Lie'i algebra) ja V on vektorruum; GL(V) on kõik invertible lineaarsete toimingute kogum V peal. Selline kujutis lubab kasutada lineaarse algebra meetodeid ning ühendab abstraktse teooria ja selle rakendused.

Grupi representatsioonid on kõige hästi mõistetav vorm. Kui G on grupp ja V on F-ruum, siis ρ: G → GL(V) on representatsioon, kui ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kõigi g, h ∈ G ning ρ(e) = Id_V. Sellise kujutise kaudu kirjeldatakse G-i sümmeetriat ja toimimisi ruumis.

Olulised mõisted hõlmavad reducibilisust ja irreducibilisust. Representatsioon on reducible, kui V sisaldab mittetriviaalseid G-invariantseid alamruume; irreducible on olukord, kus nii alamruume ei eksisteeri. Erinevates kontekstides on oluline ka täielik jagumine: näiteks finitoidsete gruppide korral kehtib Maschke'i teoreem, mis tagab, et iga representatsioon on otsesumma irreducible representatsioonidest. Karakterid, mida tähistab ruumi trajektsioonide summa, võimaldavad representatsioone klassifitseerida ja võrrelda.

Näited hõlmavad triviaalset representatsiooni (kõikide g jaoks identiteedimapp), sign-representatsiooni (tuntud S_n-i puhul), C_n-i tsüklilise grupi 2D-representatsioone, samuti S_n-i standardset representatsiooni ruumis summeeritud lahtrite koordineeritud subruumis. Representatsiooniteooria on oluline tööriist füüsikas, keemiavõrdustes ja geomeetrilises kujutamises, kus sümmeetriad kirjeldavad tegelikke süsteeme.