Reaalialgebrassa

Reaalialgebrassa on matemaattinen rakenne, jossa reaaliluvut toimivat skaalareina ja rakenne itsessään on sekä reaalinen vektoriavaruus että kierre, jossa on mielekäs kertolasku. Tässä kontekstissa A on reaaliakselaatinen vektoriavaruus, ja sillä on bilineaarinen kertolasku A × A → A, jonka avulla A on renngi. Tyypillisesti oletetaan myös, että kertolasku on assosiatiivinen ja että on olemassa yksikkö, jolloin skaalaukset r ∈ R toteuttavat r · 1_A = embedding of R into A. Näin ollen reaalialgebra A on R:n algebra, jossa reaaliluvut ilmaisevat sekä skaalauksen että osittain kertolaskun keskittää.

Monista reaalialgebrasta voi olla erilaisia erityispiirteitä. Yleisesti ne voivat olla assosiatiivisia tai ei; usein tutkimus kohdistuu assosiatiivisiin reaaliaalgebrasiin, mutta ei-assoasiaalisiakin esimerkkejä on (esim. oktonionit). Reaali-alkiot voivat olla suljettuja ala-alkabereita (ala-algebrateja) ja niihin liittyy homomorfismeja sekä ideaaleja.

Esimerkkejä reaalialgebravoista: M_n(R), kaikkien n×n reaalisten matriisien algebra; R[x], polynomilukujen ja –alkuun muodostama algebra; C(X) tai L^∞(X) reaaliväärien funktioiden algebrat; kvat R-algebrana myös kvaternio O ja muut kokonaisuudet. Näiden algebrien ominaisuudet, kuten commutatiivisuus, yksikkö, ja pienoismallit (representaatiot), antavat päävälineitä esimerkiksi lineaariselle algebralle, funktionaalianalyysille ja real algebraic geometrialle.

Käyttökonteksteja ovat muun muassa lineaarinen representaation teoria, funktionaalinen analyysi, sekä real algebraic geometry, joissa reaali-alkujen ja niiden kertolaskun rakenteet ovat keskeisiä.