representaatiot

Representaatiot ovat matemaattinen käsite, jossa abstrakti rakenne, kuten ryhmä tai algebra, esitetään lineaarisina muunnoksina vektoritilassa. Yleinen määritelmä: annetaan ryhmä G ja vektoriavaruus V kentällä F. Esitys ρ on ryhmän homomorfia ρ: G → GL(V), ja se täyttää ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kaikille g, h ∈ G. Näin rakenteelliset ominaisuudet voidaan tutkia lineaarisesta näkökulmasta.

Erityisesti puhutaan ryhmäesityksistä sekä Lie-ryhmien ja Lie-algebrojen esityksistä. Irreducible-esitys (irreducible representation) on esitys, jossa V ei sisällä mitään ei-triviaalin G-invariantteja alijoukkoja. Monissa tapauksissa esitykset voidaan purkaa suoraan irreducible-osiksi; Maschke'n teoreema takaa tämän mahdollisuuden, kun G on finite ja kentän karakteristiikka ei jaa G:n kertalukua (esim. kompleksilukujen kentässä). Merkit (χ) määrittelevät esityksen karakterin χ(g) = tr(ρ(g)) ja ovat hyödyllisiä luokittelussa.

Esimerkkejä: trivielli esitys ρ(g) = I; säännöllinen esitys, jossa G vaikuttaa vasemmalta kertolaskulta omassa funktioavaruudessaan; permutaatiorepresentaatiot, joissa G:n jäsenet vaihtavat basisvektoreita. Tärkeitä käsitteitä ovat irreducible-esitykset ja Schurin lemman tulkinnat, jotka auttavat näiden esitysten rakenteen ymmärtämisessä.

Sovelluksia on monilla aloilla: fysiikassa ja kemian symmetrioiden luokittelu, geometriassa sekä tietojenkäsittelyssä data- ja ohjelmointikielien esitystapoina. Representaatiot auttavat ymmärtämään symmetrioita, pienentämään monimutkaisuutta ja tarjoamaan tehokkaita laskenta- ja tallennusmuotoja. Representaatioteoria kehittyi 1800-luvulla Frobeniuksesta ja Galoisista eteenpäin ja on myöhemmin saanut vaikutteita Weyliltä sekä Lie-teoriasta.