homomorfismeja

Homomorfismi on käsite matematiikassa, erityisesti abstraktissa algebrassa, joka kuvaa struktuuria säilyttävää kuvausta kahden algebrallisen rakenteen välillä. Tällaisia rakenteita voivat olla esimerkiksi ryhmät, renkaat tai vektoritilat. Yksinkertaisesti sanottuna homomorfismi on funktio, joka pitää rakenteen operaatiot järjestyksessä.

Olkoon meillä kaksi algebrallista rakennetta, A ja B, joilla molemmilla on jokin operaatio, esimerkiksi yhteen- tai kertolasku. Funktio f: A -> B on homomorfismi, jos se toteuttaa seuraavan ehdon: mille tahansa A:n alkioille a1 ja a2 pätee f(a1 * a2) = f(a1) * f(a2), missä '*' edustaa kyseistä operaatiota. Tämä tarkoittaa, että voimme suorittaa operaation ensin A:ssa ja kuvata tuloksen B:hen, tai kuvata alkiot ensin B:hen ja suorittaa operaation siellä; lopputuloksen tulee olla sama.

Jos homomorfismi on lisäksi bijektiivinen eli sekä injektiivinen (eri alkiot kuvautuvat eri alkioiksi) että surjektiivinen (jokainen B:n alkio on jonkin A:n alkion kuva), sitä kutsutaan isomorfismiksi. Isomorfismi osoittaa, että kaksi algebrallista rakennetta ovat olennaisesti samanlaisia tai isomorfisia, vaikka niiden alkiojoukot ja operaatioiden merkinnät olisivatkin erilaisia. Kertoisimme homomorfismeista enemmän, jos se olisi sallittua.