Rauminhalte

Rauminhalt bezeichnet die dreidimensionale Ausdehnung eines Körpers oder einer Region im Raum und gibt an, wie viel Raum sie umfasst. In der Geometrie und Physik entspricht er dem Volumen. Im Alltag wird oft einfach von Volumen gesprochen. Die SI-Einheit ist das Kubikmeter (m^3); gebräuchliche kleinere Einheiten sind Liter (L) und Kubikzentimeter (cm^3). 1 m^3 entspricht 1000 L, 1 L entspricht 1000 cm^3, und 1 cm^3 entspricht 1 Milliliter (mL).

Für regelmäßige Körper lassen sich oft einfache Formeln anwenden: Ein Quader hat V = a · b · c; ein Zylinder V = π r^2 h; ein Kegel V = (1/3) π r^2 h; eine Pyramide V = (1/3) B h; eine Kugel V = (4/3) π r^3. Allgemein gilt: Der Rauminhalt misst den Umfang des dreidimensionalen Raums, den ein Körper einnimmt, und lässt sich durch Zerlegung in Teilsummen oder durch Integrale berechnen.

In der Mathematik wird der Rauminhalt als Maß des Raums in R^3 definiert (Lebesgue-Maß) und besitzt Eigenschaften wie Additivität, Monotonie und Skalierbarkeit: Wird der linear Maßstab s auf den Körper angewendet, verändert sich das Volumen zu V(sA) = s^3 V(A). Cavalieri’s Prinzip besagt, dass Volumen mittels gleich großer Schnitte bestimmt werden kann.

Irregularen Objekten kann man Volumen oft durch Wasserverdrängung oder durch numerische Methoden/3D-Scans nähern. Anwendungen finden sich in Bauwesen, Ingenieurwesen, Logistik, Materialberechnung und Dichtebestimmung.

Historisch reichen die Ideen des Rauminhalts bis in die antike Geometrie zurück; Archimed es nutzte Verdrängung zur Bestimmung schwer zugänglicher Volumina, während die Entwicklung der Infinitesimalrechnung neue Berechnungsmethoden schuf.