QRdekomposisjon

QR-dekomposisjon er en metode for å faktorere en real- eller kompleks matrise A som A = QR, der Q er en ortogonal (unitær i komplekse tilfeller) matrise og R er øvre triangulær. For en m×n-matrise med m ≥ n finnes en “tynn” QR hvor A = QR med Q ∈ R^{m×n} og R ∈ R^{n×n} øvre triangulær, mens i den fullstendige versjonen har man Q ∈ R^{m×m} orthogonal og R ∈ R^{m×n} med R = [R1; 0], hvor R1 er øvre triangulær.

Metoder for å beregne QR-dekomposisjonen inkluderer Gram-Schmidt-prosessen (klassisk og modifisert), Householder-refleksjoner og Givens-rotasjoner. Gram-Schmidt gir en enkel konstruksjon, men kan være numerisk ustabil; modifisert Gram-Schmidt er mer robust. Householder-refleksjoner er svært stabile og er dominerende i moderne lineær-algebrasprogramvare, mens Givens-rotasjoner er spesielt effektive for sparsomme og båndstrukturert masse.

Egenskaper: Q er orthogonal (Q^T Q = I, eller Q^H Q = I i komplekse tilfeller) og R er øvre triangulær. Dersom A har full kolonnerekke, har R ikke-null diagonalelementer. Faktoriseringen er ikke nødvendigvis unik; justering av tegn på kolonner i Q og tilsvarende kolonner i R kan gi forskjellige, men likeverdige faktorer.

Anvendelser: QR-dekomposisjon brukes til å løse minste kvadraters problemer, gitt ved x = R^{-1} Q^T b for A med full kolonnerekke. Den er også sentral i QR-algoritmen for å finne egenverdier av kvadratiske matriser, samt i beregninger av projeksjoner og lineær regresjon.