Pythagorasztétel

A Pythagorasztétel a derékszögű háromszögek egyik alapvető állítása. Ha a derékszögű háromszög befogóinak hosszai a és b, az átfogó hosszúsága pedig c, akkor a^2 + b^2 = c^2. Ez a kapcsolat a síkgeometria alapja, és csak derékszögben igaz.

Koordináta-formában a tétel úgy értelmezhető, hogy ha a háromszög az origó körül van elhelyezve úgy, hogy a=(a,0) és b=(0,b), akkor az átfogó hossza c = sqrt(a^2 + b^2). Így a távolságképlet különböző esetekben a háromszög oldalainak kapcsolatát adja meg.

Historikusan a tétel a görög matematikához köthető; nevét Pithagoraszhoz társítják, bár az eredmények előfutárai más kultúrákban is megjelentek. Euclid Elements I. könyvében is megtalálható és bizonyítása ismert többféle módon.

Bizonyítása számos ismert: geometriai szemléletű, aritmetikai és algebrai megközelítések egyaránt léteznek. Gyakori bizonyítási eszköz a területek összevetése négyzetekkel és a hasonlóságok alkalmazása, illetve a derékszögű háromszög vektor- vagy síkidomként való értelmezése.

Alkalmazások: a tétel nélküli számításokra is kiterjedően használható a hosszok meghatározására, távolságmérésre és a számelméletben a Pythagorasz-triplák megismerésére (például 3-4-5, 5-12-13). A tétel alapja a trigonometria és a derékszögű háromszögök kapcsolatrendszerének.

Általánosítások: többdimenziós térben és vektormezőben, ha két vektor ortogonális, akkor ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2; ez a parallelogram-lap és a belső szorzat fogalmának következménye. Nem-euklideszi geometriában a tétel nem feltétlenül érvényes minden körülmény között.