Pozitivele

Pozitivele sunt numerele mai mari decât zero. În matematică, termenul se referă în principal la numere reale pozitive, dar poate fi extins la subcategorii precum numerele întregi pozitive sau numerele raționale pozitive. În analiză, setul numerelor reale pozitive este notat (0, ∞) și este un subset al numerelor reale.

Proprietăți fundamentale: dacă a > 0 și b > 0, atunci a + b > 0 și ab > 0. Pozitivitatea este compatibilă cu înmulțirea și adunarea, iar reciprocul lui a este pozitiv: dacă a > 0, atunci 1/a > 0. Zero nu este pozitiv. Funcția semn (sgn) este definită astfel încât sgn(x) = 1 pentru x > 0.

Restricții și context: pentru logaritm, argumentul trebuie să fie pozitiv; în alte contexte se folosesc definiții diferite (de exemplu log2 sau ln). În analiză și calcul, proprietățile pozitivului facilitează formularea inegalităților și studiul creșterii funcțiilor.

Extensii: în algebra liniară, termenul pozitivă definită se aplică unor matrice A care verifică x^T A x > 0 pentru toate x ≠ 0; o matrice poate fi pozitivă semidefinită dacă x^T A x ≥ 0. Aceste concepte joacă rol în optimizare, teorie spectrală și statistică.

Observații: în limba română, „pozitivele” poate desemna și aspecte pozitive sau avantajele unei situații, dar în această pagină se vorbește despre semnificația matematică a termenului.