Polynomringar

Polynomringar, eller polynomringar över en given ring R, är ringen R[x] av polynom i en obestämd variabel x med koefficienter i R. Varje element skrivs som a0 + a1 x + … + an x^n med a_i ∈ R och n ≥ 0. Addition och multiplikation följer de vanliga polynomreglerna, så att R[x] blir en ring. Om R är commutativ blir R[x] också commutativ.

R[x] har den universella egenskapen att varje R-algebra och varje val av element i en annan ring ger en unik utvidgning av en ringhomomorfi som skickar x till det valda elementet. Detta gör R[x] till den fria commutativa R-algebran på en generator i lämpliga sammanhang.

Man kan också bilda polynomringar i flera variabler, R[x1, …, xn], vilket används för att beskriva mängder av polynomrelationer och för att studera flera variabler samtidigt.

När R är en kropp F har F[x] särskilda algebraiska egenskaper: F[x] är en PID och därmed en UFD; division med rest fungerar och varje ideal i F[x] är genererat av ett polynom. Exempel på vanliga fall är Z[x], F_p[x] och F[x].

Användningsområden för polynomringar är breda: de är centrala inom algebra, algebraisk geometri, talteori, datoralgebra och kryptografi. Begreppet polynomring utgör en grundläggande byggsten i modern algebra och har många teoretiska och praktiska tillämpningar.