Polynomlikninger

Polynomlikninger er ligninger der en polynom er lik null, typisk skrevet som p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, der a_n ≠ 0. Graden n bestemmer antall termer av stigende potens og gir ofte hvor mange løsninger man kan forvente, spesielt når man teller komplekse røtter.

Løsningsmetoder: For små polynomer kan man ofte faktorisere p(x) og bruke zero-produktet. Dette gjøres ofte ved hjelp av faktorenes teorem og rasjonalrotsetningen for å finne potensielle rasjonale røtter. For kvadratiske polynomier brukes formelen x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)]/(2a) når p(x) = ax^2 + bx + c. For høyeregraderte polynomer finnes generelle løsninger for kubiske og noen kvartiske, men i praksis benyttes ofte numeriske metoder som Newtons metode eller grafiske metoder for å finne røttene. Ved koeffisiente reelle polynomer kommer røttene enten som reelle tall eller som komplekse tall, og de komplekse røttene kommer i konjugatpar.

Teori: Fundamentalteoremet om algebra sier at et polynom av grad n har n komplekse røtter (teller multiplicitet). For polynomer med reelle koeffisienter kommer ikke-reelle røtter i konjugatpar.

Eksempel: x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 kan faktoriseres til (x-1)(x-2)(x-3) = 0, og gir røttene x = 1, 2, 3.

Anvendelser: Polynomlikninger brukes i fysikk, ingeniørfag, økonomi og andre fag til modellering av forhold og til å finne likevekter eller tider når variabler når bestemte verdier.