Polynomiinterpolaatiota

Polynomiinterpolaatio on menetelmä, jolla etsitään polynomi, joka kulkee annetun joukon pisteiden kautta. Toisin sanoen, jos meillä on joukko pisteitä $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$, polynomiinterpolaation tavoitteena on löytää polynomi $P(x)$ siten, että $P(x_i) = y_i$ kaikille $i = 0, 1, \ldots, n$. Tällainen polynomi on yksikäsitteinen ja sen aste on korkeintaan $n$.

On olemassa useita tapoja konstruoida interpolaatiopolynomi. Yksi tunnetuimmista on Lagrangen interpolaatiopolynomi. Tämä polynomi voidaan kirjoittaa muodossa $P(x) = \sum_{j=0}^n y_j L_j(x)$, missä $L_j(x)$ ovat Lagrangen perustapolynomeja, jotka on määritelty seuraavasti: $L_j(x) = \prod_{i=0, i \neq j}^n \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$. Nämä perustapolynomit toteuttavat ehdon $L_j(x_j) = 1$ ja $L_j(x_i) = 0$ kaikille $i \neq j$.

Toinen yleinen tapa on käyttää Newtonin interpolaatiopolynomia, joka rakentuu rekursiivisesti. Tämä menetelmä on usein tehokkaampi, erityisesti kun pisteiden määrää kasvatetaan vähitellen. Newtonin polynomi on muotoa $P(x) = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1) + \ldots + c_n(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{n-1})$, missä kertoimet $c_i$ lasketaan jaetuista erotuksista.

Polynomiinterpolaatiota käytetään laajalti numeerisessa analyysissä, tieteellisessä laskennassa ja koneoppimisessa esimerkiksi funktioiden approksimointiin tai datan mallintamiseen. On kuitenkin huomattava, että korkea-asteisten interpolaatiopolynomien käyttäminen voi johtaa Rungeilmiöön, jossa polynomi heilahtelee voimakkaasti pisteiden välillä, varsinkin jos pisteet ovat epätasaisesti jakautuneita.