interpolaatiopolynomien

Interpolaatiopolynomit ovat polynomeja, jotka kulkevat tarkasti tiettyjen annettujen pistejoukon kautta. Kun meillä on joukko pisteitä (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn), interpolaatiopolynomi P(x) on sellainen polynomi, että P(xi) = yi jokaiselle i = 0, 1, ..., n. Tällöin pisteitä on n+1 kappaletta, ja polynomin aste on korkeintaan n.

Yksinkertaisin tapa löytää interpolaatiopolynomi on Lagrangen interpolaatiopolynomi. Se voidaan esittää kaavalla, joka käyttää hyväkseen Lagrangen kantapolynomeja. Jokainen kantapolynomi L_j(x) on suunniteltu siten, että L_j(x_j) = 1 ja L_j(x_i) = 0, kun i ≠ j. Interpolaatiopolynomi saadaan sitten summana y_j * L_j(x).

Toinen yleinen tapa on Newtonin interpolaatiopolynomi. Tämä menetelmä rakentaa polynomin asteittain lisäämällä termejä ja hyödyntää jaettuja erotuksia. Newtonin muoto on usein käytännöllisempi, jos pisteitä lisätään tai poistetaan, koska uusia termejä voidaan lisätä ilman, että koko polynomin laskentaa tarvitsee aloittaa alusta.

Interpolaatiopolynomeja käytetään monilla aloilla, kuten numeerisessa analyysissä, datan mallintamisessa ja käyrän sovituksessa. Ne tarjoavat tavan arvioida funktioiden arvoja pisteiden välillä, joissa funktion todellista muotoa ei tunneta tai se on liian monimutkainen. On kuitenkin tärkeää huomata, että interpolaatiopolynomit voivat käyttäytyä arvaamattomasti pisteiden välissä, erityisesti korkea-asteisina, ilmiö tunnetaan nimellä Runge ilmiö.