interpolaatiopolynomia

Interpolaatiopolynomi on polynomi, joka kulkee tarkasti tiettyjen datapisteiden kautta. Olipa meillä joukko pisteitä $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$, joissa kaikki $x_i$ ovat erillisiä, interpolaatiopolynomi $P(x)$ on polynomi siten, että $P(x_i) = y_i$ jokaiselle $i = 0, 1, \ldots, n$. Tällainen polynomi on yksikäsitteinen ja sen aste on korkeintaan $n$.

Yleisin tapa muodostaa interpolaatiopolynomi on käyttää Lagrangen interpolaatiopolynomia. Se määritellään kaavalla $P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x)$, missä $L_j(x)$ ovat Lagrangen perustapolynomit, jotka määritellään seuraavasti: $L_j(x) = \prod_{i=0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$. Jokainen $L_j(x)$ on konstruoitu siten, että $L_j(x_j) = 1$ ja $L_j(x_i) = 0$ kaikilla $i \neq j$. Tämä takaa, että $P(x_j) = y_j$.

Toinen yleinen lähestymistapa on Newtonin interpolaatiopolynomi. Se hyödyntää jaettuja erotuksia. Newtonin muoto on rekursiivinen ja helpottaa polynomin asteiden kasvattamista, kun uusia pisteitä lisätään. Newtonin polynomin yleinen muoto on $P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \ldots + a_n(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{n-1})$, missä kertoimet $a_i$ ovat jaettuja erotuksia.

Interpolaatiopolynomit ovat tärkeitä numeerisessa analyysissä, sillä niiden avulla voidaan approksimoida tuntemattomia funktioita diskreettien mittauspisteiden perusteella. Niitä käytetään esimerkiksi funktionarvioinnissa ja numeerisessa integroinnissa. On kuitenkin huomioitava, että interpolaatiopolynomit voivat käyttäytyä epävakaasti, erityisesti jos pisteet ovat epätasaisesti jakautuneet tai polynomiaste on suuri (Runge-ilmiö).