Poissonsuhteet

Poissonsuhteet on suomenkielinen termi, jota käytetään kuvaamaan Poissonin rakenteisiin ja Poissonin prosesseihin liittyviä suhteita. Termi esiintyy matematiikassa ja fysiikassa eri kontekstissa, mutta yleisesti ottaen ne kattavat sekä todennäköisyyslaskennan että mekaniikan ja differiaaligeometrian alueita.

Tilastotieteessä Poisson-suhteet liittyvät Poissonin jakaumaan ja Poisson-prosessiin. Kun tapahtumat tapahtuvat tasaisesti ja riippumattomasti ja niiden keskimääräinen tiheys on λ, ajanhetkien lukumäärä tietyllä ajanjaksolla seuraa Poisson-jakaumaa parametrin λt mukaan. Poisson-prosessi on stokastinen prosessi, jossa kertaluonteiset tapahtumat jakautuvat ajassa siten, että erilliset osajaksojen tapahtumat ovat riippumattomia. Välin keskimääräinen odotettu tapahtumien määrä lisääntyy lineaarisesti ajan kanssa, ja välinen odotusaika on eksponentiaalijakautunut.

Klassisessa mekaniikassa ja differiaaligeometriassa Poisson-suhteet tarkoittavat Poisson-brackettia, jolla määritellään observoitavien funktioiden välinen Lie-algebra. Esimerkkejä ovat canonical-suhteet {q_i, p_j} = δ_ij sekä {q_i, q_j} = {p_i, p_j} = 0. Laajempi kuvaus antaa Poisson-manifoldien rakenteen, jossa bracket ja Leibnizin sekä Jacobin identiteetit kytkeyvät dynaamisen järjestelmän geometriaan.

Käytännössä Poissonsuhteet toimivat sillanrakentajana klassisen ja kvanttimekaniikan välillä sekä eri geometrisissa rakenteissa. Katso myös Poissonin jakauma, Poisson-prosessi, Poisson-brackett ja Poisson-manifold.