Poissonprosessiin

Poissonprosessiin viitataan yleisesti Poissonprosessi-näennäisenä stokastisena prosessina, jota käytetään mallintamaan satunnaisia tapahtumia, jotka sattuvat ajan mittaan. Se on erityisen hyödyllinen tilanteissa, joissa tapahtumien määrä kasvaa tasaisesti ajan mittaan ja yksittäisten tapahtumien välillä ei ole muistia: menneisyyden tapahtumat eivät vaikuta tulevaisuuden todennäköisyyksiin.

Homogeeninen Poissonprosessi määritellään ajattelulla N(t), joka antaa tapahtumien määrän ajankohtaan t mennessä. N(0)=0, ja N(t) on ei-negatiivinen kokonaisluku. Prosessi omaa riippumattomat ja kiinteäarvoiset lisäykset (stationary independent increments): N(t+s)−N(t) on jakaumaa Poisson(λ s) ja on riippumaton N(u)−N(v) kaikilla disjunktien aikaväleillä. Odotusarvo on E[N(t)]=λ t, ja tapahtumien välinen aika S_n eri tapahtumien välillä on eksponentiaalinen jakauma with parameter λ. Prosessi on oikea-aikainen (càdlàg) ja Markov-käytöksessään muistaa vain nykytilan.

Epäsäännöllisenä laajennuksena on non-homogeeninen Poissonprosessi, jossa intensiteettifunktio λ(t) voi riippua ajasta. Tällöin N(t) on Poisson(paineen) jako Poisson(Λ(t)) suurin, missä Λ(t)=∫_0^t λ(s) ds. Välinlisäykset disjunkteilla ajanjaksoilla ovat riippumattomia ja Poisson-jakaumia niiden keskiarvojen kattoessa kyseiset ajanjaksot.

Sovelluksia riittää: huomautuksia puhelu- ja palvelinverkkoihin, saapumien simulointeihin, säteilyn tai liikenteen havaitsemiseen sekä positiivisten tapahtumien mallintamiseen biologiassa ja teollisuudessa. Poissonprosessi toimii perustana monille stokastisten prosessien käsitteille ja estimoinnille.