Poissonmanifoldien

Poisson manifoldien ovat matemaattisia rakenteita, jotka yleistävät sekä symplektisten monifoldien että Poisson-rakenteen käsitteitä. Ne ovat differentioituvia monifoldjeja, joilla on lisäksi Poisson-sulkulauseke, joka on bilineaarinen kuvaus sileiden funktioiden välillä. Tämä sulkulauseke täyttää tiettyjä ominaisuuksia, jotka tekevät siitä Poisson-rakenteen.

Yksinkertaisimmillaan Poisson-sulkulauseke voidaan määritellä usein käyttämällä Poisson-tensoria, joka on ulkoinen tensori, jolla on kaksi tasoa. Poisson-tensori määrittää Poisson-sulkulausekkeen avulla, kuinka kahden funktion Poisson-sarja lasketaan. Tämä sulkulauseke on keskeinen työkalu Poisson-geometriassa, koska se mahdollistaa dynamiikan määrittämisen monifoldilla Hamiltonin yhtälöiden kautta, vaikka monifoldilla ei olisikaan symplektistä rakennetta.

Poisson-monifoldit ovat tärkeitä useilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Ne tarjoavat luonnollisen viitekehyksen klassisten integroitavien järjestelmien ja yleistetyn Hamiltonin mekaniikan tutkimiseen. Erityisesti ne ovat hyödyllisiä tutkittaessa Hamiltonin systeemejä, joilla on symmetrioita tai jotka ilmenevät projektiivisissa avaruuksissa. Symplektiset monifoldit ovat erityistapaus Poisson-monifoldista, jossa Poisson-tensori on kääntävä, mikä johtaa yleensä kääntävään Poisson-sulkulausekkeeseen. Myös useita muita rakenteita, kuten Lie-alijoukkoja monifoldjeilla tai algebrojen edustuksia, voidaan mallintaa Poisson-monifoldien avulla.