Symplektiset

Symplektiset tilat ovat sileiden monistojen geometrian objekteja, joita hallitsee symplektinen rakenne. Symplektinen rakenne on 2-muotoinen ω, joka on suljettu (dω = 0) ja ei-degeneroituva. Kun M:llä on tällainen ω, siitä muodostuu symplektinen tila. Symplektiset tilat ovat keskeisiä sekä mekaniikan että geometrian tutkimuksessa, ja niissä tarkastellaan ominaisuuksia, kuten tilan ja muodon yhteensopivuutta.

Yleinen ominaisuus on, että tilan dimensiö on parillinen. Darboux’n lauseen mukaan paikallisesti ω on yhdenmukainen standardimuodon kanssa, joten kaikki symplektiset tilat ovat paikallisesti samankaltaisia eikä niillä ole paikallisia invariansseja yhtä monella tavalla kuin esimerkiksi Riemannin geometriassa. Globaalisti ω:n luoma de Rham -yhteisöarvo [ω] voi kuitenkin erota toisistaan ja vaikuttaa tilan topologiaan.

Morphisms ja dynamiikka: Symplektomorfismit ovat difeomorfismeja f: M → M, joissa f^*ω = ω. Tällaiset muunnokset säilyttävät symplektisen rakenteen ja ovat keskeisiä symplektisen geometrian studiosta. Hamiltonin järjestelmien yhteydessä määritellään Hamiltonian vektori X_f kohdassa i_{X_f} ω = df. Näin syntyvät liikkeet, jotka säilyttävät ω:n, sekä joiden nopein tapa kuvata konservatiivisia systeemin ominaisuuksia. Rakeiden ja ryhmien toiminnat johtavat myös momentti- ja reduktio-periaatteisiin, kuten Marsden–Weinstein -reduktion.

Esimerkit: klassinen esimerkki on R^{2n} standardimuodolla ω0 = Σ_i dx_i ∧ dy_i. Takaovetoputkikokoelma T*Q kantaa canonisen symplektisen muodon dθ, jossa θ on tautologinen 1-muoto. Myös kompleksinen projektiveinen tila CP^n varustettuna Fubini-Study -muodon on symplektinen. Nämä esimerkit havainnollistavat, miten symplektiset tilat toimivat sekä tilojen luonteen että niihin liittyvän dynamiikan kontekstissa.

Merkitys: Symplektinen geometria yhdistää nappuloita fysiikkaan, klassiseen mekaniikkaan ja moderniin matematiikkaan, tarjoten kehyksen konservatiivisille järjestelmille sekä syvälle rakenteelle liikkeen ja muodon yhteiselossa.