Poissonligningen

Poissonligningen er en andenordens elliptisk partielt differentialligning, der i et område Ω ⊂ R^n har formen ∆u = f, hvor ∆ er Laplacianen. Ligningen spiller en central rolle i potentialteori og i mange fysiske modeller, og den bruges sammen med en randbetingelse på grænsen ∂Ω.

Laplacianen ∆ beskriver summed second derivatives: i tre dimensioner er ∆u = ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2. Med en kendt kildeterm f beskriver Poissonligningen hvordan en kvantitet u fordeler sig under påvirkning af en kilde eller kilde tæthed f i rummet.

En velkendt anvendelse inden for elektrostatik er specialtilfældet ∆φ = -ρ/ε0, hvor φ er det elektromotoriske potentiale og ρ er ladningstæthed. Poissonligningen optræder også ved steady-state varmeledning, diffusion og i visse kvantemekaniske sammenhænge.

Løsninger til Poissonligningen afhænger af randbetingelserne. De mest almindelige er Dirichletbetingelser (kendt værdi af u på ∂Ω), Neumannbetingelser (kendt normalafledning ∂u/∂n på ∂Ω) og Robinbetingelser (en kombination). For Dirichlet- og visse Neumann-problemer sikres ofte en entydig løsning under passende betingelser; generelt er problemet velstilllet for passende domæner og data.

Analytiske løsninger findes kun i nogle geometriske tilfælde. Mere generelt løses Poissonligningen numerisk ved metoder som forskelsmetoder (FDM) eller finite element-metoder (FEM). Navnet kommer fra den franske matematiker Siméon Denis Poisson, som studerede potentialeproblemer i begyndelsen af 1800-tallet.